「大学入試」の記事一覧

いろいろな数列

いろいろな数列 大学入試

次の問いに答えよ. (1) \(k\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}\leqq k\)を満たす \(0\) 以上の整数 \(x\), \(y\) の組 \((x, y)\) の個数を \(a_k\) を \(k\) の式で表せ. (2) \(n\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}+z\leqq n\)を満たす \(0\) 以上の整数 \(x\), \(y\), \(z\) の組 \((x, y, z)\) の個数を \(b_n\) とする. \(b_n\) を \(n\) の式で表せ. 出典:横浜国立大学 理工学部

1次変換

1次変換 大学入試

行列 \(X=\begin{pmatrix} a & c \\ c & d \end{pmatrix}\), \(Y=\begin{pmatrix} -2 & 3\\ 3 & 6 \end{pmatrix}\) は \(XY=YX\) を満たす. 次の問いに答えよ. (1) \(c\), \(d\) を \(a\), \(b\) を用いて表せ. (2) \(X^2=E\), \(b>0\) のとき, \(X\) を求めよ. ただし, \(E\) は単位行列とする. (3) \(xy\) 平面上に直線 \(l\) があり, (2)で求めた行列 \(X\) の表す1次変換によって \(l\) 上の点はすべて \(l\) 上の点に移される. \(l\) の方程式を求めよ. 出典:横浜国立大学 理工学部

体積

体積 大学入試

次の問いに答えよ. (1) 不定積分 \(\int \cos (a\log x) dx\) を求めよ. ただし, \(a\) は \(0\) でないものとする. (2) 曲線 \(y=x\cos (\log x)\) と \(x\) 軸, および2直線 \(x=1\), \(x=e^{\frac{\pi}{4}}\) で囲まれた図形を, \(x\) 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ. 出典:横浜国立大学 理工学部

定積分

大学入試 定積分

次の問いに答えよ. (1) 定積分 \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{2+\sin x}{1+\cos x}dx\) を求めよ. (2) 関数 \(y=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}\) の増減, 極値を調べ, そのグラフの概形を描け. ただし, グラフの凸凹, 変曲点は調べなくても良い. 出典:横浜国立大学 理工学部

ベクトルと図形(平面)

ベクトルと図形(平面) 大学入試

\(\triangle ABC\) において, \(AB=3\), \(AC=5\), \(BC=2\sqrt{6}\) とする. \(\triangle ABC\) の外心を \(O\) とし, \(O\) から辺 \(AB\) に下ろした垂線と \(AB\) の交点を \(M\), \(O\) から辺 \(AC\) に下ろした垂線と \(AC\) の交点を \(N\), 直線 \(AO\) と辺 \(BC\) の交点を \(D\) とする. このとき, 次の問いに答えよ. (1) \(\overrightarrow{AB}\) と \(\overrightarrow{AC}\) の内積を求めよ. (2) \(|\overrightarrow{AO}|\) の値を求めよ. (3) \(BD:DC=s:1-s\), \(\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{AD}\) とするとき, \(\overrightarrow{MO}\) と \(\overrightarrow{NO}\) をそれぞれ, \(k\), \(s\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) を用いて表せ. (4) \(\overrightarrow{AO}\) を \(\overrightarrow{AB}\) と \(\overrightarrow{AC}\) を用いて表せ. 出典:滋賀大学 教育学部 経済学部

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